Моє відчуття фізики підказує мені, що швидкість відкинутої швидкості втечі.
Ця мінімізація може працювати краще при співвідношенні загальної зміни енергії астероїдної системи плюс викинутого матеріалу до енергії викинутого матеріалу. Ракетне рівняння допомагає. Рівняння ракети - це збереження результату імпульсу за допомогою
d (mv) / dt = 0 -> (m -? m) (v +? v) -? mV = 0
де V - швидкість масової реакції,? v і? m - це зміна швидкості і втрати маси "ракети", або в цьому випадку астероїд, а m і v - початкова маса і швидкість об'єкта. Встановлюємо v = 0 і отримуємо
? v = V (? м / м)
а швидкість, інтегрована вгору, v = V ln (m_i / m_f), для m_i початкова маса і m_f кінцева маса. Якщо зміна маси у нас невелика
v ~ = V (m_i / m_f - 1)
а імпульс астероїда в кінці дорівнює p ~ = V (m_i - m_f). Тепер відпустимо V = u - v_e, для v_e швидкість втечі і u швидкість об'єкта скидаються. Це означає, що V - швидкість відкинутого об'єкта "у нескінченність".
Тепер припустимо, що ми хочемо мінімізувати кінетичну енергію астероїда K = (1/2) p ^ 2 / m_f для заданого відкидання кінетичної енергії E = (1/2)? Mu ^ 2. Ми будуємо безрозмірне співвідношення,
R = p ^ 2 / m_f / (? Mu ^ 2 / = (p / u) ^ 2 / (? Mm_f) = (? M / m_f) (1 - v_e / u) ^ 2.
До речі, важливо працювати з безрозмірним співвідношенням. Тож ми мінімізуємо це для заданого? М та обчислимо u. Таким чином ми мінімізуємо
F (u) = (1 - v_e / u) ^ 2, -> dF (u) / du = -2 (1 - v_e / u) * v_e / u ^ 2,
і це нуль при v_e = u. Це здається трохи дивним, враховуючи формулу рівняння ракети, але я обговорю це нижче.
Потім беремо другу похідну, щоб визначити, чи це максимум, або хв, і ми отримаємо
d ^ 2F (u) / du ^ 2 = 4 (1 - v_e / u) * (v_e / u ^ 2) ^ 2 - 2 (v_e / u ^ 2) ^ 2
що при u = v_e дорівнює -2 <0, і тому це хв, що ми хочемо. Зрозуміло також, що u = v_e - це мінімальна кінетична енергія, яку ми можемо надавати масі.
Дивно звучить, що маємо v ~ = V (m_i / m_f - 1), що для V = u - v_e дорівнює нулю при u = v_e. Однак для u = v_e астероїд рухається, поки відкинутий об'єкт не досягне нескінченності. Мета цього - створити зміщення астероїда, і коли відкинутий об'єкт досягне "нескінченності", астероїд досягне деякої відстані зміщення.
LC
