Математики розкрили великий новий доказ для однієї з найвідоміших недоведених ідей математики, відомої як гіпотеза. Але шлях, який вони взяли до пошуку цих доказів, ймовірно, не допоможе довести саму гіпотезу гіпотети.
Гіпотеза про дві прості - це те, як і коли прості числа - числа, які діляться лише на себе, і 1 - відображаються в рядку числа. "Близнюки-праймери" - це праймери, що знаходяться в двох кроках один від одного на цій лінії: 3 і 5, 5 і 7, 29 і 31, 137 і 139 тощо. Гіпотеза про двічі проголошує, що існує нескінченна кількість близнюків-близнюків, і ви будете постійно стикатися з ними незалежно від того, наскільки далеко ви перейдете до рядка чисел. Він також говорить, що існує нескінченна кількість простих пар з усіма іншими можливими проміжками між ними (прості пари, які розташовані на чотири кроки, вісім кроків один від одного, 200 000 кроків один від одного, тощо). Математики майже впевнені, що це правда. Це впевнено здається, що це правда. І якби це не було правдою, це означало б, що прості числа не такі випадкові, як думали всі, що б зіпсувало безліч ідей про те, як працюють цифри взагалі. Але це ніхто ніколи не зміг довести.
Однак вони можуть бути ближче зараз, ніж будь-коли раніше. У публікації, опублікованій 12 серпня в журналі перед друком arXiv, як Quanta вперше повідомив, двоє математиків довели, що гіпотеза про подвійне прем'єрство справжня - принаймні, в якійсь альтернативній всесвіті.
Це те, що роблять математики: працювати над великими доказами, доказуючи менші ідеї на цьому шляху. Іноді уроки, отримані з цих менших доказів, можуть допомогти в більшій кількості доказів.
У цьому випадку математики Уілл Савін з Колумбійського університету та Марк Шустерман з Університету Вісконсіна довели версію гіпотетичної двічі для альтернативного всесвіту "кінцевих полів": системи числення, які не йдуть до нескінченності, як рядок чисел, але натомість петлю поверніть на себе.
Ви, мабуть, щодня стикаєтесь з кінцевим полем на обличчі годинника. Він іде 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, а потім петлі назад до 1. У цьому кінцевому полі 3 + 3 все одно дорівнює 6. Але 3 + 11 = 2.
Кінцеві поля мають поліноми або вирази, такі як "4x" або "3x + 17x ^ 2-4", - сказав Савін Live Live, як і звичайні числа. Математики, за його словами, дізналися, що поліноми над кінцевими полями ведуть себе так само, як цілі числа - цілі числа в рядку чисел. Затвердження, що відповідають дійсності цілих чисел, також мають довіру щодо поліномів над кінцевими полями, і навпаки. І так само, як прості числа складаються парами, многочлени складаються парами. Наприклад, близнюки 3x + 17x ^ 2-4 є 3x + 17x ^ 2-2 і 3x + 17x ^ 2-6. І приємне, що стосується поліномів, сказав Савін, - це те, що на відміну від цілих чисел, коли ви розміщуєте їх на графіку, вони складають геометричні фігури. Наприклад, 2x + 1 робить графік, який виглядає приблизно так:
І 5x + x ^ 2 робить графік, який виглядає приблизно так:
Оскільки поліноми відображають фігури, а не крапки, які ви отримуєте при графіку окремих простих чисел, ви можете використовувати геометрію, щоб довести речі про поліноми, які ви не можете довести про прості цілі числа.
"Ми не були першими, хто помітив, що ви можете використовувати геометрію для розуміння кінцевих полів", - сказав Шустерман Live Science.
Іншими дослідниками було доведено менші версії гіпотези про близнюкових прайменів щодо певних видів многочленів над кінцевими полями. Але доказ Савіна і Шустермана багато в чому вимагав від дослідників повернутися і почати з нуля, сказав Савін.
"У нас було спостереження, яке дозволило нам виконати трюк ... що зробило геометрію набагато приємнішою, так що вона застосовується у всіх цих випадках", - сказав Шустерман.
Цей геометричний трюк, за його словами, призвів до їхнього прориву: доведення того, що ця спеціальна версія гіпотези про подвійне просте дійсне для всіх поліномів над кінцевими полями, а не лише для деяких з них.
Погана новина, сказав Савін, полягає в тому, що оскільки їхній трюк значною мірою спирається на геометрію, можливо, не вдасться використати його для доведення самої гігієни гіпотети. Основа математики просто надто відрізняється.
Проте Шустерман сказав, що доведення випадку з кінцевими полями - це великий новий доказ, який слід додати до купки, дражнячи математиків можливістю, що докази, на які всі чекають, є десь там.
Це ніби вони хотіли побачити вершину високої крутої гори, а замість цього тягнули собі іншу гору поблизу. Вони майже бачать далеку вершину, але вона оповита хмарами. І маршрут, який вони взяли, щоб дійти до вершини другої гори, ймовірно, не буде працювати на горі, яку вони насправді цікавлять.
Шустерман заявив, що сподівається продовжувати співпрацювати з Савіном над проблемою «близнюків-близнюків», і що завжди можливо щось, що вони навчилися, роблячи це доказ, виявиться важливим для доказування гіпотети близнюків.
