"До нескінченності і далі!"
Ви навіть глибоко замислювалися про знамениту фразу Buzz Lightyear з фільмів "Історія іграшок"? Напевно, ні. Але, можливо, ти іноді дивився на нічне небо і замислювався над природою самої нескінченності.
Нескінченність - це дивне поняття, таке, що людський мозок важко обертає своє обмежене розуміння. Ми говоримо, що Всесвіт може бути нескінченною, але чи може вона справді просто продовжуватись назавжди? Або цифри pi після десяткових - вони насправді працюють нескінченно, завжди даючи нам набагато більшу точність щодо співвідношення між окружністю кола і радіусом? І може бути прав Базз? Чи є щось поза безмежністю?
Щоб вирішити ці загадкові міркування, Live Science звернулася за допомогою до математика Генрі Тоснера з Університету Пенсільванії у Філадельфії, який був добрий, щоб спробувати відповісти на питання: "Чи можете ви порахувати минулу нескінченність?" (Будьте попереджені: це стане складним.)
Нескінченність, сказав Тосснер, сидить у дивному місці: Більшість людей відчувають, що мають певну інтуїцію щодо цієї концепції, але чим більше вони думають про неї, тим дивніше вона отримує.
Математики, з іншого боку, не часто думають про нескінченність як про поняття самостійно, додав він. Швидше, вони використовують різні способи думати про це, щоб зрозуміти його багато аспектів.
Наприклад, існують різні розміри нескінченності. Це було доведено німецьким математиком Георгом Кантором наприкінці 1800-х років, згідно з історією університету Сент-Ендрюса в Шотландії.
Кантор знав, що натуральні числа - тобто цілі додатні числа, такі як 1, 4, 27, 56 і 15 687 - продовжуються назавжди. Вони нескінченні, і вони також є те, що ми використовуємо для підрахунку речей, тому він визначив їх як "незліченно нескінченних", згідно з корисним сайтом з історії, математики та інших тем з навчального карикатуриста Чарльза Фішера Купера.
Групи незліченних чисел мають деякі цікаві властивості. Наприклад, парні числа (2, 4, 6 і т.д.) також незліченно безмежні. І хоча технічно їх наполовину більше, ніж те, що охоплене повним набором натуральних чисел, вони все одно є нескінченними.
Іншими словами, ви можете розмістити всі парні числа і всі натуральні числа поруч у двох стовпцях, і обидва стовпчики перейдуть у нескінченність, але вони однакові "довжиною" нескінченності. Це означає, що половина лічильної нескінченності - це все-таки нескінченність.
Але велике розуміння Кантора полягало в тому, що він розумів, що існують інші набори чисел, які незліченно нескінченні. Реальні числа - до яких відносяться натуральні числа, а також дроби та ірраціональні числа на зразок pi - є нескінченнішими, ніж натуральні числа. (Якщо ви хочете дізнатися, як це зробив Кантор, і можете вирішити якісь математичні позначення, ви можете ознайомитись з цим робочим аркушем з університету штату Мен.)
Якби ви вибудовували всі натуральні числа та всі дійсні числа поряд з двома стовпцями, реальні числа виходили б за нескінченність натуральних чисел. Пізніше Кантор пішов з розуму, ймовірно, з причин, не пов'язаних з його роботою з нескінченності, за словами Купера.
Що рахує?
Отже, повернемося до питання про підрахунок минулої нескінченності. "Те, що математика змушує вас запитати, - це, що це насправді означає?", - сказав Тосснер. "Що ви маєте на увазі, рахуючи минулу нескінченність?"
Для того, щоб потрапити на питання, Тосснер розповів про порядкові номери. На відміну від кардинальних чисел (1, 2, 3 тощо), які розповідають, скільки речей у множині, ординари визначаються за їхніми положеннями (перший, другий, третій тощо), і вони також були введені в математику шляхом Cantor, згідно з математичним веб-сайтом Wolfram MathWorld.
У порядкових числах - це поняття під назвою омега, позначене грецькою літерою ω, сказав Тосснер. Символ ω визначається як річ, яка надходить після всіх інших природних чисел - або, як називав Кантор, першим безмежним порядковим.
Але одна з речей про цифри полягає в тому, що ви завжди можете додати ще одну в кінці, сказав Тосснер. Отже, є така річ, як ω + 1, і ω + 2 і навіть ω + ω. (Якщо вам цікаво, ви врешті-решт потрапите на число, яке називається ω1, яке відоме як перший незліченний порядковий номер.)
Оскільки підрахунок подібний до додавання додаткових чисел, ці поняття певним чином дозволяють вам підрахувати минулу нескінченність, сказав Тосснер.
Дивовижність усього цього є частиною причини, за якою математики наполягають на жорсткому визначенні їх термінів, додав він. Якщо все не в порядку, важко відокремити нашу нормальну людську інтуїцію від того, що можна довести математично.
"Математика каже вам:" Поглиблено глибоко, що рахується? ", - сказав Тосснер.
Для нас, просто смертних, ці ідеї можуть бути важкими для повного обчислення. Як саме працюючі математики мають справу з усім цим кумедним бізнесом у своїх щоденних дослідженнях?
"Багато це - практика", - сказав Тосснер. "Ви розвиваєте нові інтуїції з викриттям, і коли інтуїція не вдається, ви можете сказати:" Ми говоримо про це точне покрокове жорстке підтвердження ". Тож якщо цей доказ дивує, ми все ще можемо перевірити його правильність, а потім навчитися розвивати нову інтуїцію навколо цього ".
