Чи команда математиків просто зробила великий крок до відповіді на 160-річне мільйонне питання математики?
Може бути. Екіпаж вирішив ряд інших, менших питань у галузі, що називається теорією чисел. Роблячи це, вони відновили старий проспект, який, врешті-решт, може призвести до відповіді на старе питання: чи правильна гіпотеза Рімана?
Гіпотеза Реймана - фундаментальна математична гіпотеза, яка має величезні наслідки для решти математики. Він є основою для багатьох інших математичних ідей - але ніхто не знає, чи це правда. Його обгрунтованість стала одним із найвідоміших відкритих питань математики. Це одна із семи "Проблем тисячоліття", викладених у 2000 році, обіцяючи, що хто їх вирішить, виграє 1 мільйон доларів. (З тих пір вирішена лише одна з проблем.)
Звідки виникла ця ідея?
Ще в 1859 році німецький математик на ім'я Бернхард Ріман запропонував відповідь на особливо тернисте математичне рівняння. Його гіпотеза виглядає так: Реальна частина кожного нетривіального нуля zeta функції Рімана становить 1/2. Це досить абстрактне математичне твердження, що стосується того, які числа ви можете ввести в певну математичну функцію, щоб ця функція дорівнювала нулю. Але це, як виявляється, має велике значення, головне стосовно питань того, як часто ви будете стикатися з простими числами, підраховуючи до нескінченності.
До деталей гіпотези ми повернемось пізніше. Але найважливіше, що зараз потрібно знати, - якщо гіпотеза Рімана правдива, вона відповідає на багато питань математики.
"Тож часто в теорії чисел, що, в кінцевому підсумку, відбувається, якщо ви припускаєте гіпотезу Рімана, то ви зможете довести всі інші результати", - Лола Томпсон, теоретик числа в коледжі Оберліна в Огайо, яка не брала участь в цьому останньому дослідженні, сказано.
Часто, за її словами Live Science, теоретики чисел спочатку докажуть, що щось істинно, якщо гіпотеза Рімана правдива. Тоді вони використовуватимуть цей доказ як своєрідну сходинку до більш хитромудрого доказу, який показує, що їх первісний висновок вірний, чи правда гіпотеза Рімана.
Те, що ця хитрість працює, за її словами, переконує багатьох математиків у тому, що гіпотеза Рімана повинна бути правдивою.
Але правда полягає в тому, що ніхто точно не знає.
Маленький крок до доказу?
То як ця маленька команда математиків, здавалося, наблизила нас до рішення?
"Те, що ми зробили в нашій роботі, - сказав Кен Оно, теоретик чисельності в Університеті Еморі і співавтор нового доказу, - чи ми переглянули дуже технічний критерій, еквівалентний гіпотезі Рімана ... і ми довели велику кількість" частина цього. Ми довели велику частину цього критерію ".
"Критерій, еквівалентний гіпотезі Рімана", в цьому випадку стосується окремого твердження, математично еквівалентного гіпотезі Рімана.
На перший погляд не очевидно, чому два твердження так пов'язані. (Критерій має відношення до чогось, що називається "гіперболічністю поліномів Дженсена".) Але в 1920-х роках угорський математик на ім'я Джордж Поля довів, що якщо цей критерій істинний, то гіпотеза Рімана є вірною - і навпаки. Це старий запропонований шлях до доведення гіпотези, але той, який у значній мірі був покинутий.
Оно та його колеги в роботі, опублікованій 21 травня в журналі Proceedings of the Natural Academy of Sciences (PNAS), довели, що в багатьох, багатьох випадках критерій є істинним.
Але в математиці багато хто недостатньо, щоб вважати доказом. Є ще деякі випадки, коли вони не знають, чи критерій правдивий чи помилковий.
"Це як грати в Powerball з мільйонним числом", - сказав Оно. "І ви знаєте всі числа, але останні 20. Якщо навіть одне з цих останніх 20 номерів помиляється, ви програєте. ... Це все одно може розвалитися".
Дослідникам потрібно було б придумати ще більш вдосконалений доказ, який би показав, що критерій вірний у всіх випадках, тим самим доводячи гіпотезу Рімана. І не ясно, наскільки далеко такий доказ, сказав Оно.
Отже, наскільки велика справа у цьому папері?
З точки зору гіпотези Рімана, важко сказати, наскільки це велика угода. Багато що залежить від того, що буде далі.
"Це лише одна з багатьох рівнозначних формулювань гіпотези Рімана", - сказав Томпсон.
Іншими словами, існує маса інших ідей, які, як і цей критерій, довели б, що гіпотеза Рімана правдива, якби вони самі були доведені.
"Отже, насправді важко знати, наскільки це прогрес, тому що, з одного боку, він досяг прогресу в цьому напрямку. Але так багато рівнозначних формулювань, що, можливо, цей напрямок не дасть гіпотези Рімана. Можливо, одна з інші еквівалентні теореми натомість будуть, якщо хтось може довести одну з них ", - сказав Томпсон.
Якщо докази з'являться на цьому шляху, то це, мабуть, означатиме, що Оно та його колеги розробили важливу основу для вирішення гіпотези Рімана. Але якщо він з’явиться десь в іншому місці, то цей документ виявиться менш важливим.
Все-таки математики вражені.
"Хоча це ще далеко від доведення гіпотези Рімана, це великий крок вперед", - пише Енріко Бомб'єрі, теоретик числа Прінстона, який не брав участі в дослідженнях команди, пише в супровідній статті 23 травня PNAS. "Немає сумнівів, що цей документ надихне на подальшу фундаментальну роботу в інших областях теорії чисел, а також в математичній фізиці".
(Бомб'єрі виграв Філдс Медаль - найпрестижніший приз у галузі математики - у 1974 р. Значною мірою за роботу, пов'язану з гіпотезою Рімана.)
Що взагалі означає гіпотеза Рімана?
Я пообіцяв, що повернемось до цього. Ось знову гіпотеза Рімана: Реальна частина кожного нетривіального нуля zeta функції Рімана становить 1/2.
Розберемо це відповідно до того, як це пояснили Томпсон і Оно.
По-перше, яка функція зети Рімана?
У математиці функція - це відношення між різними математичними величинами. Простий може виглядати так: y = 2x.
Зета-функція Рімана дотримується тих же основних принципів. Тільки це набагато складніше. Ось як це виглядає.
Це сума нескінченної послідовності, де кожен доданок - перші кілька - 1/1 ^ s, 1/2 ^ s та 1/3 ^ s - додається до попередніх доданків. Ці еліпси означають, що ряд функцій продовжує так тривати назавжди.
Тепер ми можемо відповісти на друге запитання: Що таке нуль zeta функції Рімана?
Це простіше. "Нуль" функції - це будь-яке число, яке ви можете ввести для x, що призводить до того, що функція дорівнює нулю.
Наступне запитання: Яка "реальна частина" однієї з цих нулів, і що це означає, що вона дорівнює 1/2?
Зета-функція Рімана включає те, що математики називають "складними числами". Складне число виглядає так: a + b * i.
У цьому рівнянні "а" і "б" означають будь-які дійсні числа. Реальна кількість може бути будь-якою від мінус 3, до нуля, до 4,9234, пі, або 1 мільярд. Але є й інший вид числа: уявні числа. Уявні числа з’являються, коли ви берете квадратний корінь від’ємного числа, і вони важливі, відображаючись у всіх видах математичного контексту.
Найпростіше уявне число - квадратний корінь -1, який записується як "i". Складне число - це дійсне число ("a") плюс інше дійсне число ("b") разів i. "Справжня частина" складного числа - це "а".
Гіпотеза Реймана не враховує кілька нулів zeta функції Рімана, від'ємні цілі числа від -10 до 0. Вони вважаються "тривіальними" нулями, оскільки це реальні числа, а не складні числа. Усі інші нулі - це "нетривіальні" і складні числа.
У гіпотезі Рімана зазначається, що коли зета функція Рімана перетинає нуль (за винятком тих нулів між -10 і 0), реальна частина комплексного числа повинна дорівнювати 1/2.
Ця маленька претензія може здатися не дуже важливою. Але це. І ми можемо бути лише підлітковими трохи ближче до її вирішення.
